Algoritma Euclied dan KPK

Soal dan Jawaban Algoritma Euclied dan KPK

1.      Terapkan Algoritma Euclid untuk memperoleh

Jawab :

2.      Hitunglah PPB dari 1492 dan 1066.

Jawab:

Terapkan algoritma Euclides seperti dijelaskan sebelumnya dengan mengambil a = 1492 dan b = 1066, yaitu

1492 = 1 . 1066 + 426

1066 = 2 . 426 + 214

426   = 1 . 214 + 212

214   = 1 . 212 + 2

212   = 106 . 2 + 0

Sisa taknol yang terakhir adalah 2 sehingga d = gcd(1492; 1066) = 2.

3.      Tentukan dengan menggunakan metode irisan himpunan!

Jawab:

Misalkan himpunan-himpunan kelipatan positif dari 40 dan 12 berturut-turut adalah K40 dan K12.

Himpunan kelipatan persekutuannya adalah

Karena bilangan terkecil dari adalah 120, maka adalah 120.

4.      Buktikan bahwa jika ( a, b ) = 1 dan a ⏐bc , maka a ⏐ c.

Bukti :

( a, b ) = 1 ⇒ terdapat m dan n sedemikian sehingga 1 = ma + nb.

a ⏐ bc ⇒ terdapat k sedemikian sehingga bc = ak.

Diperoleh 1 = ma + nb

c . 1 = mac + nbc

c = mac + nak

c = a ( mc + nk ) ⇔ a ⏐ c

5.      Misalkan  , maka harus ditunjukkan bahwa  ,   dengan

Jawab:

Terlihat bahwa

Maka ,

,

, 

6.      Jika  maka  tentukan

Jawab:

7.      Menggunakan sifat berapa

Jawab :

8.      Buktikan berlaku

Jawab :

Misalkan

kelipatan persekutuan positif dari a dan b.

Misalkan c kelipatan persekutuan positif lain dari

Dengan demikian

9.      Hitunglah hasil kali KPK dan PPB dari  dan

Jawab:

10.  Tentukan KPK dari 2520 dan 10530 dengan cara faktorisasi prima

Jawab :

SOAL MATRIKULASI PROBLEMATIKA PEMBELAJARAN MATEMATIKA SEKOLAH

Soal Ujian Matrikulasi

1.      Jelaskan apa saja problematika pembelajaran matematika sekolah dan bagaimana solusi?

Kegiatan pembelajaran matematika di sekolah

Ada beberapa problematika yang menghambat jalannya proses pembelajaran matematika, diantaranya yaitu

a.       Kurangnya pemahaman guru terhadap kurikulum 2013 karena minimnya pelatihan dan pendistribuasian bahan ajar yang belum merata.

b.      Sulitnya mengubah mindset siswa dan guru yang sudah terlanjur melekat. Seperti kebiasaan guru yang selalu menjelaskan rumus. Siswa yang selalu menerima materi dengan mudah karena telah dirangkumkan oleh guru.

c.       Siswa kurang bisa beradaptasi dengan pembelajaran matematika yang menggunakan kurikulum 2013 karena rumus atau mereka bisa mereka dapatkan dengan cara mereka sendiri.

d.      guru kesulitan mengelola kelas karena kegiatan belajar dilakukan secara kelompok sehingga banyak siswa yang justru membuat kegaduhan.

e.       Dalam kurikulum 2013, untuk mendapatkan materi atau suatu simpulan membutuhkan waktu  yang tidak sedikit.

f.       Pembelajaran menjadi monoton dan membosankan karena materi yang dibahas dalam satu hari hanya tema itu saja yang dibahas.

g.      Kurikulum 2013 membutuhkan sarana dan prasarana yang mendukung. Seperti adanya laboratorium, media pembelajaran dan alat peraga. Sebagai contoh, di dalam buku pedoman dijelaskan bahwa untuk mengajarkan materi mengenalkan bilangan asli sampai dengan 500 menggunakan blok Dienes. Namun, tidak semua sekolah mempunyai media pembelajaran tersebut.

h.      Selain itu, banyak pula terjadi missconcept yang sudah menjadi kebiasaan. Seperti penyebutan kata yang seharusnya “negatif” namun menjadi “minus”

Dari berbagai problematika yang terjadi tersebut ada beberapa alternatif solusi yang bisa dilakukan untuk meminimalisir problematika tersebut sehingga kegiatan pembelajaran bisa berjalan dengan baik. Beberapa solusi tersebut diantaranya:

a.       Guru harus meningkatkan keterampilan mengajar antara lain keterampilan membuka dan menutup pelajaran, keterampilan mengelola kelas, keterampilan bertanya, keterampilan mengadakan variasi.

http://icrixs.wordpress.com/education/keterampilan-mengajar-guru/

b.      Aktivitas siswa seperti aktivias bertanya, membaca, menulis, melakukan percobaan, mengemukakan pendapat, bekerja sama dengan kelompok harus ditingkatkan. Aktivitas siswa dapat ditingkatkan oleh guru dengan melakukan perbaikan pembelajaran secara berkala.

http://www.slideshare.net/rikinenengfadilah/aktivitas-belajar-siswa

c.       Pemerintah sebagai penyelenggara pendidikan harus menyediakan fasilitas yang menunjang pembelajaran. Seperti mengadakan pelatihan/diklat, membuat kurikulum yang bisa disesuaikan dengan kondisi siswa.

http://eprints.uny.ac.id/9416/1/bab%201%20-NIM%2007110241016.pdf

d.      Pembelajaran harus dibuat menarik seperti menggunakan berbagai model pembelajan, teori pembelajaran, serta pendekatan pembelajaran yang sesuai dengan matematika.

http://luluksofijati.weebly.com/uploads/1/3/5/2/13527370/pembelajaran_matematika_yang_menarik.pdf

e.       Agar siswa tidak mengalami missconcept, buku ajar yang dibuat pemerintah harus mencakup cara mengajarkan konsep suatu materi yang berlandaskan teori belajar secara jelas.

http://file.upi.edu/Direktori/DUAL-MODES/MODEL_PEMBELAJARAN_MATEMATIKA/BBM3_(Dra._Erna_Suwangsih,_M.Pd..pdf

2. Apa saja isu-isu problematika pembelajaran matematika sekolah yang akan dihadapi dan bagaimana alternatif penyelesaiannya?

Isu-isu problematika pembelajaran matematika yang akan nantinya dikhawatirkan akan terjadi diantaranya

a.       Siswa hanya bisa memahami suatu konsep secara teoritis namun tidak bisa mengaplikasikannya. Sebagai contoh, operasi hitung campuran misal -3 – (-8). Secara teoritis siswa memahami materi tersebut, namun mereka tidak tahu apa manfaat mempelajarinya. Hal ini tentu akan berpengaruh terhadap pembangunan karakter siswa.

b.      Jika pembelajaran terus-menerus digambarkan sulit dan rumit. Dapat dipastikan siswa akan semakin ketakutan dengan mata pelajaran tersebut dan siswa akan merasa malas belajar. Hal tersebut akan sangat berpengaruh terhadap upaya memperbaiki generasi penerus bangsa.

          Dari berbagai isu problematika pembelajaran matematika yang dikhawatirkan akan terjadi, ada beberapa alternatif solusi yang dapat digunakan untuk meminimalisirkan kemumingkan tersebut. Alternatif solusi tersebut antara lain:

a.       Pembentukan karakter siswa sebagai tujuan utama pembelajaran adalah tanggung jawab semua  pihak. Pemerintah harus menfasilitasi dan mengendalikan mutu pelajaran dengan cara menyusun kurikulum yang disesuaikan dengan kondisi siswa, menyediakan materi ajar yang sesuai dengan tingkatan kelas atau umur, menyedikan tempat belajar yang kondusif serta selalu melakukan pengawasan berkala.

https://www.academia.edu/4504605/SUPERVISI_PENDIDIKAN

b.      Pembelajaran harus dibuat menarik dan bermakna dengan melakukan pembelajaran yang menggunakan berbagai model, pendekatan, teori, dan strategi pembelajaran.

http://luluksofijati.weebly.com/uploads/1/3/5/2/13527370/pembelajaran_matematika_yang_menarik.pdf

Permainan Teka-Teki Kelas 2 SD

Permainan ini merupakan salah satu jenis permainan teka-teki silang. Hanya saja,anak-anak tidak perlu memikirkan huruf apa yang diperlukan untuk melengkapi isiannya. Anak-anak cukup mencoret atau melingkari jawaban yang dimaksud.
Permainan ini lebih ditujukan untuk permainan kelompok mengingat banyaknya pertanyaan dan bentuk permainan yang lumayan sulit. Untuk mempermudah penyelesain,setiap kelompok harus membagi tugas. Ada yang menjawab pertanyaan dan ada yang menandai jawaban ke dalam lembar yang disediakan.
Permainan Teka-Teki Untuk Kelas 2 SD
Selamat Mencoba :)

Realistic Mathematic Education (RME) atau Pendidikan Matematika Realistik (PMR)

Kata “realistic” merujuk pada pendekatan dalam pendidikan matematika yang telah dikembangkan di Belanda selama kurag lebih 35 tahun. Pendekatan ini mengacu pada pendapat Freudenthal (dalam Hamidah, 2007:8) yang mengatakan bahwa matematika harus dikaitkan dengan realita dan matematika merupakan aktivitas manusia. Gravemeijer (dalam Sembiring, 2010:44) juga menambahkan bahwa kata “realistic” merujuk pada kegiatan nyata sehari-hari. Sehingga RME dapat dikatakan sebagai pengajaran matematika yang berdasarkan pada masalah praktis yang ada dalam kehidupan nyata sehahi-hari. Menurut Freudenthal (dalam Wijaya, 2012:20), kebermaknaan makna matematika merupakan konsep utama dari RME. Proses belajar siswa hanya akan terjadi jika pengetahuan yang dipelajari bermakna bagi siswa. Pendekatan inilah yang kemudian dikenal dengan istilah Realistic Mathematics Education (RME). Pendekatan RME ini diperkenalkan oleh Freudenthal di Belanda pada tahun 1971. 

Pendekatan RME mengenal adanya istilah matematisasi yaitu suatu proses untuk mematematikakan suatu fenomena dan bisa juga diartikan membangun suatu konsep matematika dari suatu fenomena (Wijaya, 2012:41-42). Treffers (dalam Fauzan, 2002:38) menjelaskan bahwa tahap formalisasi termasuk pemodelan, simbolisasi, skematisasi dan mendefinisikan dan generalisasi adalah langkah-langkah untuk memahami dalam akal pikiran. Dengan menyelesaikan masalah kontekstual dalam pendekatan realistic siswa akan belajar untuk menyelesaikan masalah kontekstual secara matematis. Proses inilah yang disebut matematisasi. Treffers (dalam Van den Heuvel, 1996:11) membagi proses matematisasi menjadi dua, yaitu

1. Matematisasi Horisontal

                 Matematisasi horisontal dapat diartikan sebagai pemodelan situasi berdasarkan pengalaman nyata ke dalam matematika (Yenni dan Andre, 2003:5).

Menurut Wijaya (2012:43), proses matematisasi dapat dicapai melalui kegiatan seperti: (1) identifikasi matematika dalam suatu konteks umum; (2) skematisasi; (3) formulasi dan visualisasi masalah dalam berbagai cara; (4) pencarian keteraturan dan hubungan; (5) transfer masalah nyata ke dalam model matematika.

2. Matematisasi Vertikal.

        Matematisasi vertikal dapat diartikan sebagai proses untuk mencapai tingkat yang abstraksi yang lebih tinggi dalam matematika (Yenni dan Andre, 2003:5). Menurut Wijaya (2012:43), proses matematisasi vertikal terjadi melalui serangkaian kegiatan seperti: (1) representasi dari suatu relasi ke dalam suatu rumus atau aturan; (2) pembuktian keteraturan; (3) penyesuaian dan pengembangan model matematika; (4) penggunaan model matematika yang bervariasi; (5) pengombinasian dan pengintegrasian model matematika; (6) perumusan suatu konsep matematika baru; (7) generalisasi

Memelihara keharmonisan suatu hubungan

Pada dasarnya harmonis atau tidaknya suatu hubungan tergatung pada masing-masing pasangan. Intensitas komunikasi juga sangat diperlukan terutama untuk yang menjalani hubungan jarak jauh. Namun, pada kenyataannya intensitas komunikasi berbanding terbalik dengan keharmonisan. Semakin sering komunikasi semakin besar pula peluang perbedaan pendapat. Semakin jarang komunikasi semakin sedikit perbedaan pendapat. Situasi yang paling menentramkan jiwa dan sampai pada hubungan harmonis adalah ketika masing-masing mengetahui karakter pasangan. Ketika sedang sibuk, sepasang kekasih justru terlihat lebih harmonis karena mereka menghargai betapa berartinya waktu luang yang bisaa dimanfaatka untuk komunikasi. Disaat itulah rasa cinta akan semakin bertambah. Rasa rindu yang menumpuk memang bisa membuat keduanya menjadi sangat sensitif namun pada akhirnya mereka saling memahami bahwa itulah hak dari rasa cinta. Masing-masng akan mencoba berbuat yang terbaik terhadap keharmonisan hubungan.

Ketidaknyamanan sebuah hubungan

            Suka duka suatu hubungan yang sudah berjalan hampir 2 tahun. Namun,ada banyak hal yang akhirnya harus dipertimbangkan kembali. Ketidaknyamanan yang semakin memuncak adalah faktor utamanya, dan hal-hal yang menyebabkan ketidaknyamanan tersebut  antara lain:

1.      Komunikasi yang buruk

Bukan karena intensitas atau karena hubungan jarak jauh. Tapi karena kualitas komunikasi yang bermasalah. Pasangan belum saling memahami satu sama lain. Pria terlalu acuh tak acuh dan tak mencoba mengerti pasangannya. Dan wanita yang terlalu sensitif. Ketika komunikasi baru berjalan 5 menit, hanya karena ada kata-kata yang menurut salah satu pihak tidak enak di dengar bisa menyebabkan pertengkaran berhari-hari. Dan hal itu terjadi berulang-ulang hingga sekarang dalam usia pacaran mendekati 2 tahun. Sungguh ironis memang....

2.      Merasa tak dihargai

Karena tingginya ego dan sifat kekanak-kanakan pada kedua belah pihak membuat keduanya mudah tersinggung. Sering merasa tak di anggap, tak dihargai dan disepelekan. Semuanya menuntut hak untuk dihargai tanpa mau melaksanakan kewajiban untuk menghargai pasangan. Semua pihak berargumen bahwa dirinyalah yang paling banya berkorban, paling sering disakiti dan paling sering menderita. Padahal semua orang pada dasarnya sama yaitu egois hanya saja tingkat keegoisan masing-masing orang berbeda.

3.      Iri dengan pasangan lain

Iri dengan pacar sahabat yang sering memberikan kejutan dan hadiah. Iri dengan sahabat yang bisa tiap malam minggu diapeli pacar. Iri dengan sahabat yang setiap hari selalu mesra, selalu diantar jemput dan terlihat sangat harmonis. Iri dengan sahabat yang baru berhubungan hitungan bulan langsung dilamar. Iri dengan pasangan yang menikah muda dan harmonis. Tapi jika dicermati lagi, jika selalu iri dengan pasangan lain kenapa tidak mencari pacar baru? Kenapa masih bertahan? Karena cinta? Karena tidak bisa move on? Karena takut akan masa depan? Karena takut apa pasangan kita kelak mau menerima masa lalu kita? Itulah pertanyaan-pertanyaan yang sering muncul dan menyebabkan kegalauan antara lanjut atau udahan. Semuanya kembali pada yang menjalani, selama masih “nyaman” dan merasa masih bisa bertahan, bertahanlah. Namun jika sudah tidak bisa bertahan, lambaikan tangan dan menyerahlah.

4.      Terdesak umur

Tidak jarang wanita mempermasalahkan umur. Usia sekian sudah harus menikah, padahal secara finansial dan psikis belum siap. Sebagian besar wanita mendesak pihak pria untuk segera meningkatkan hubungan ke tahap yang lebih serius. Namun dilematisnya, kedewasaan pria berbeda dengan wanita. Terlebih lagi untuk pasangan yang usia pria lebih muda daripada wanita. Keadaan itu sungguh menjadikan suatu dilema besar.

5.      Backstreet

Hubungan backstreet alias sembunyi-sembunyi sungguh sangat melelahkan. Hubungan backstreet dari orang tua biasanya bermula dari ditentangnya hubungan tersebut. lebih dilematis lagi jika orang tua melarang melanjutkan hubungan padahal orang tua belum mengenal pasangan kita. Rasa penasaran atau sensasi ini yang biasanya melandasi pasangan melakukan backstreet. Hubungan backstreet sangatlah rawan pertengkaran. Ketika salah satu pihak mengingatkan tentang backstreet pasti akan membuat situasi tidak nyaman. Menjadi ragu akan masa depan dan berpikir semua perjuangan akan berakhir dengan sia-sia.

6.      Status sosial

Perbedaan status sosial juga membuat hubungan menjadi tidak nyaman. Pihak yang lebih tinggi status sosialnya akan merasa tidak leluasa untuk berkata maupun bertindak. Sedang pihak yang lebih rendah status sosialnya akan mudah tersinggung. Hubungan beda status sosial mebutuhkan rasa toleransi yang tinggi. Karena status sosial ini pula, harga diri menjadi sesuatu yang sangat sensitif.

7.      Keimanan

Semua wanita menginginkan sosok pria dewasa, bertanggung jawab, hangat dan bisa menjadi imam yang baik. Ketika wanita sudah meragukan tingkat keimanan atau ketaqwaan pasangannya dan membuatnya merasa tidak aman dengan masa depannya. Sebaiknya,hentikanlah atau bertahan dan mencoba belajar bersama.

8.      Masa lalu pasangan

Masa lalu pasangan sering membuat pria atau wanita menjadi posesif dan emosional. Wanita cenderung mudah berpikir negatif. Segala sesuatu yang dikatakan pasangan dalam status di sosmed, dalam catatan hp maupun dari perkataan langsung seringkali membuat wanita cemburu membabi buta. Wanita menjadi sangat emosional. Mereka berpikir bahwa semua yang telah dilakukan semuanya sia-sia dan tak ada artinya. Si pria tetap saja tidak bisa melupakan mantan dan terus mencari tahu kabar mantan secara diam-diam. Sungguh menyakitkan memang.

9.      Terlalu sering dibohongi

Terlalu sering dibohongi akan membuat wanita semakin tak bisa berpikir posistif dengan pasangan. Selalu jujur saja terkadang wanita masih bisa berpikir negatif, apalagi jika wanita sudah terlalu sering dibohongi. Setiap kali pria berstatement, wanita menjadi bertanya-tanya, benarkah? Ini sungguhan atau hanya tipu muslihat? Mana yang harus ku percaya? Kata-katanya? Atau instingku? Jika kepercayaan sudah tidak ada, untuk apa hubungan terus berlanjut. Itu hanya akan memperparah hubungan.

10.  Terlalu sering bertengkar

Seringnya bertengkar pasti akan mengganggu aktivitas masing-masing. Pekerjaan menjadi terbengkalai, nafsu makan berkurang, mudah letih, dan tak bisa konsentrasi dengan kegiatan yang sedang dilakukan. Hal ini tentunya sangat berbahaya bagi kesehatan fisik maupun psikis. Jika memang sudah tidak merasa nyaman dengan pertengkaran, mengalahlah dari hati bukan karena paksaan. Dan lakukan semua hal positif yang ingin dilakukan seperti menulis, bermain game, nonton film,dll. Dan jika merasa sudah tidak sanggup bertahan, akhirilah dengan bijak.

            Keputusan untuk memulai atau mengakhiri hubungan adalah hak masing-masing orang. Namun, alangkah baiknya jika dalam mengambil keputusan juga memikirkan perasaan orang lain. Ingat bahwa apa yang kita tanam itulah yang akan kita petik. Semua hal yang terjadi didunia ini tak luput dari hubungan sebab akibat. Oleh karena itu, peliharalah hubungan baik dengan pasangan entah memutuskan untuk mengakhirinya atau tetap bertahan dalam ketidaknyamanan yang membuatmu merasa aman.

si anak bungsu

Alasan- alasan mengapa anak bungsu di sayang orang tua

Berdasarkan pengalaman saya sendiri yang menjadi anak bungsu dari 6 bersaudara, saya sadar bahwa orang tua memberikan perhatian lebih dibanding anak yang lain. Tapi setelah saya dewasa dan bisa berpikir luas, ternyata anggapan bahwa anak terakhir selalu disayang ortu memang benar karena banyak alasan....

1. Anak bungsu adalah anak yang paling lama tinggal dengan orang tua.
2. Disaat orang tua kesepian, yang ada hanya anak terakhir/bungsu
3. Terlebih lagi, jika orang tua sedang atau sering bermasalah dengan anak yang lain. Anak bungsu akan menjadi tempat curhat (pengalaman).
4. Karena menjadi tempat curhat dan banyak mendapatkan pelajaran hidup. Akhirnya si anak bungsu bisa memperlakukan orang tua lebih baik dari anak yang lain sehingga orang tua merasa diperhatikan oleh anak bungsu. Intinya, anak bungsu punya banyak pelajaran hidup dibanding anak lain.
5. Semakin anak bungsu menerima, mengalah atau tidak obsesif terhadap sesuatu, orang tua justru semakin terobsesi untuk memberi.
6. Anak bungsu menjadi orang yang beruntung akibat perbuatan-perbuatan kakak yang mengacuhkan ortu. Semakin anak yang lain mengacuhkan ortu, semakin ortu sayang anak bungsu.